In Italiano: Meccanica, Macchine ed Energia (Parte 1)

ASTRATTO: Gli appunti di seguito riportati traggono origine dalle lezioni tenute dall’autore, raccolte da un volume pubblicato negli anni 90, insieme agli altri due che completavano il corso di “MECCANICA, MACCHINE ED ENERGIA per ITI MECCANICI” Purtroppo il volume era datato: veniva trattato estesamente il sistema operativo MS DOS, sviluppato il programma TURBO-PASCAL ecc. Tolte le parti che non interessano più, ed effettuati alcuni ritocchi, il “tipo” di cui sopra l’autore ha deciso di aggiungere gli appunti così modificati a quelli del suo sito. La parte di elettrotecnica generale non è datata e quindi può essere utilizzata.

INTRODUZIONE

La Meccanica applicata alle macchine o meccanica delle macchine è una disciplina che ha lo scopo di studiare il comportamento dei dispositivi e sistemi meccanici di interesse industriale o applicativo. In particolare questa materia applica i princìpi della fisica allo studio dei sistemi meccanici composti da più corpi e capaci di movimento, tradizionalmente chiamati meccanismi o, più recentemente, sistemi multi-body. L’oggetto finale dello studio di questa materia sono i robot.

STATICA

1.1 Forze, sistemi di forze e relative operazioni.

La statica si occupa principalmente dell’equilibrio dei corpi soggetti ad un generico sistema di forze ad essi applicate.

Dicesi forza qualsiasi causa capace di modificare lo stato di quiete di moto o del corpo. La si puo rappresentare con i vettori percio ogni forza é caratterizzata da:

• intensita: misurando la lunghezza e in rapporto alla scala;
• direzione: individuata dalla retta su cui giace il vettore;
• verso: indicato dalla punta della freccia.

Importante é distinguere le grandezze vettoriali, che sono sopra descritte, dalle grandezze scalari che sono semplicemente definite da un numero che ne indica I’intensita.

Un sistema di forze é un insieme di forze. Nei problemi di meccanica risulta molte volte piu semplice sostituire il sistema di forze a cui é sottoposto un corpo con una sola forza che sara chiamata risultante del sistema. Essa produce gli stessi effetti del sistema da cui deriva.

Fra forze definite come grandezze vettoriali é possibile effettuare delle operazioni.

Composizioni di forze sulla stessa retta d’azione con segni concordi e discordi:

Ovviamente il verso della risultante sara lo stesso se le due forze sono concordi e nel caso siano discordi prendera il verso della forza con intensita maggiore.

Composizione di forze disposte ad angolo retto:

Composizione di due forze concorrenti con angolo qualunque:

Importante é anche la scomposizione di una forza soprattutto in tre direzioni ortogonali tra loro ovvero negli assi di riferimento x,y,z.
Con R si intende la forza da scomporre in Fx Fy Fz. F é invece la proiezione di R sul piano xy. Vedi figura:

1.2 Momenti delle forze.

Il momento di una forza rispetto ad un punto é il prodotto dell’intensita della forza per la distanza intercorrente fra il punto e la retta d’azione della forza stessa.

Il punto prende il nome di polo. La distanza che é calcolata ortogonalmente alla retta d’azione della forza é detto braccio. In forma analitica il momento vale

1.3 Poligono funicolare.

Una poligonale delle forze non permette di individuare la retta d’azione della risultante e si procede dunque con un procedimento grafico che tende a localizzare un punto appartenente a tale retta. Noto questo, si traccera una retta parallela al lato di chiusura della poligonale, lungo la quale dovra agire
la risultante R. Partendo da un generico sistema di forze prendiamo un punto a caso per iniziare a costruire la spezzata la cui chiusura rappresentera la risultante. Prendiamo ora un altro punto arbitrario, il punto P detto polo, si tracciano i segmenti detti raggi polari (nella figura sono 0-P, 1-P, 2-P e 3-P) con il polo P. Da un punto qualsiasi alla sinistra del sistema di forze dato si traccia una semiretta parallela ad 0-P fino ad incontrare in A la retta d’azione di F, e cosi via. I prolungamenti dei due lati estremi del poligono si incontrano nel punto N che appartiene alla retta d’azione dalla risultante.

1.4 Vincoli e reazioni vincolari. Equilibrio dei corpi vincolati.

Un corpo rigido libero di muoversi nello spazio, in riferimento ad una terna xyz, ha sei gradi di liberta. Un corpo rigido nel piano (che poi é il caso di una trave sotto certe ipotesi) ha tre gradi di liberta, cid significa che sono sufficienti 6 coordinate per poter descrivere il suo movimento (ad esempio2 punti del corpo, ciascuno individuato nello spazio da 3 coordinate, 2 X 3 = 6):

Molto spesso nella realta ci si pone il problema di immobilizzare un elemento di una struttura o comunque limitarne 1 movimenti, ricordando che essi sono sottoposti a forze esterne. Si parla dunque di corpi vincolati ovvero posti artificiosamente in condizione di equilibrio. In equilibrio significa per ora che la somma di tutte le forze in gioco si annullino, quindi la risultante é nulla e per la definizione di una forza non c’é alcuno spostamento. Per fare in modo che il corpo sia vincolato applichiamo ad esso dei vincoli cioé collegamenti esterni atti a bloccare o limitare gli spostamenti del corpo. Ogni vincolo dunque esplica una reazione vincolare: essa é la forza relativa al movimento bloccato dal vincolo. L’equilibrio del corpo si pud dunque definire cosi: le sommatorie delle forze, ed ora si intendono anche delle reazioni vincolari, e dei loro momenti devono essere nulle, ovvero nulle le tre equazioni della statica:

Un corpo rigido é in equilibrio, date queste definizioni, se 1 vincoli bloccano tutte le possibilita di movimento. Se vincoli sono in numero uguale agli spostamenti si dice la struttura é in equilibrio isostatico se invece i vincoli sono in numero maggiore si dice che la struttura é in equilibrio iperstatico. Ultimo caso é quello in cui i vincoli sono in numero inferiore, si dice allora che la struttura é labile.

La condizione perché i tre appoggi (o vincoli) siano efficienti e quindi vi sia equilibrio isostatico é che le rette d’azione delle tre reazioni non si incontrino in uno stesso punto.

1.5 Macchine semplici.

le macchine semplici sono quei meccanismi mediante i quali si riesce ad equilibrare o a vincere una “forza resistente”, con l’impiego di una “forza motrice”, generalmente diversa dalla prima sia in direzione ma soprattutto in intensita. L’utilita di queste sta nel fatto che si manifesta una riduzione dell’intensita della forza motrice rispetto all’intensita della forza resistente. Nella figura vengono rappresentate un sollevamento di un carico Q in maniera diretta e mediante una macchina semplice.

Nella maggior parte dei casi si cerca di ottenere una riduzione sensibile della forza motrice. Si definisce il vantaggio K il rapporto: K = Q fract F

Con Q il carico resistente e F la forza motrice. Per K>1 la macchina sara vantaggiosa. Importante pero é notare come ad ogni riduzione della forza motrice corrisponde un aumento del tempo impiegato, di entita pari alla riduzione di forza conseguita.

Leve e macchine da esse derivate.

La leva é la macchina pit elementare composta da un’ asta e un fulcro. All’estremita dell’asta verranno applicati Q e F.

Leva di primo genere:

La F risulta minore di quella resistente solo se b/a<1. Dunque secondo la posizione del fulcro riusciamo a dire se c’é vantaggio. Data questa flessibilita la leva é una macchina conveniente.

Importante: la leva di IT genere é sempre vantaggiosa, quella di III genere é sempre svantaggiosa e quella di I genere dipende dal rapporto a/b.

Un’altra macchina semplice di diretta derivazione dalla leva é la puleggia che puo essere fissa o mobile.

Verricelli

Il verricello semplice é costituito da un tamburo su cui si avvolge una fune , alla cui estremita libera é applicato Q da sollevare; la F agisce all’estremo di una manovella di lunghezza b, tangenzialmente alla circonferenza descritta dall’impugnatura. (vedi figura)

Il vantaggio aumenta con l’aumentare della lunghezza di manovella b, perché diminuisce r/b, quindi diminuisce F.

Molto piu vantaggioso del verricello semplice é il verricello differenziale: é costituito da due tamburi di raggi leggermente diversi che collegati rigidamente fanno lo stesso numero di giri al comando di una manovella di braccio b. (vedi figura)

Il vantaggio é piu marcato, perché la forza motrice F é abbassata notevolmente dalla dipendenza con la meta del carico Q.

Paranchi.

Il paranco é l’accoppiamento di una puleggia fissa e una mobile, con l’intento di cambiare il verso alla forza F. Poiché i vantaggi sono di due macchine che lavorano in serie avr6 che il vantaggio totale sara dato da:

Vite e cuneo.

La vite, impiegata come meccanismo di sollevamento é composta da un’asta filettata che si impegna in una madrevite fissa in modo tale che, esercitando una forza orizzontale all’estremita del braccio, rigidamente collegato all’asta stessa, quest’ultima si pone in rotazione e per effetto dell’inclinazione della filettatura, assume un movimento ascendente.

Gli elementi che caratterizzano la vite sono: il numero dei filetti e l’inclinazione di essi rispetto ad un piano normale all’asse della vite. Nei calcoli seguenti si suppone una vite a filetto unico con angolo di inclinazione a.

Si esprimono le caratteristiche della vite mediante:

• il passo della filettatura: (p) distanza fra due punti corrispondenti del filetto
• ilraggio medio: (tm) distanza fra l’asse della vite e la generatrice media del filetto.

Si ricava una relazione fra le due caratteristiche:

Nel cuneo viene impiegato per operazioni di taglio, la forza motrice agisce perpendicolarmente al lato AB detto testa (vedi figura) mentre la forza resistente é diretta perpendicolarmente ai fianchi AC e BC.

1.6 Baricentri, momenti statici e momenti d’inerzie di figure geometriche.

Si definisce momento statico della superficie data rispetto alla retta r, la somma algebrica dei prodotto delle aree elementari (a) per le rispettive distanze (y) dalla retta r. Con il simbolo di sommatoria si pud scrivere dunque che:

Dove A é la risultante delle aree elementari e d é la distanza fra il centro della superficie o baricentro e la retta r. Alla superficie pensata come figura con peso si puo sostituire una massa equivalente applicata al baricentro. Va precisato che non sempre il baricentro coincide con il centro geometrico della figura.

Data la nuova definizione il momento statico potra essere nullo se e solo se d = 0 ovvero quando viene calcolato rispetto ad un asse baricentrico.

Baricentri di figure geometriche comuni:

Baricentro di un triangolo:

Determinazione del baricentro di una figura complessa:

Baricentri di corpi solidi.

I corpi solidi possiedono un baricentro effettivo costituito da quel punto nel quale é applicato il peso del corpo stesso. La ricerca del baricentro si riduce alla determinazione del punto di applicazione della risultante P di un sistema di forze parallele, costituite dai pesi Pi dei singoli elementi di volume.

Per il calcolo dei pesi parziali ci vengono in aiuto le seguenti definizioni:

- peso specifico: rapporto fra il peso del solido e il suo volume y= P/V;

- densita: rapporto fra la massa del solido e il suo volume p=m/V.

Momenti d’inerzia.

Si definisce momento d’inerzia della superficie rispetto alla retta r la sommatoria dei prodotti delle singole aree elementari (a) per i quadrati delle rispettive distanze (y) dalla retta:

la cui unita di misura é metri alla quarta. Teorema di Huygens o di trasposizione: il momento d’inerzia rispetto ad una seconda retta (x) si ottiene sommando al momento d’inerzia baricentrico (Jxo), il prodotto dell’area (A) della superficie per il quadrato della distanza (d) esistente fra le due rette:

Si definisce momento d’inerzia polare di una superficie rispetto al punto P nello stesso piano, la sommatoria dei prodotti delle singole aree elementari (a) per i quadrati delle rispettive distanze (z) dal punto dato:

Il momento d’inerzia polare rispetto a P é inoltre uguale alla somma dei due momenti d’inerzia assiali (Jx Jy) calcolati rispetto a due rette coincidenti in P e ortogonali fra loro.

Alcuni momenti d’inerzia.

CINEMATICA

2.1 Moto rettilineo, moto circolare del punto materiale.

La cinematica del punto si occupa dei movimenti di un punto materiale di peso e dimensioni trascurabili trascurando le cause che possono aver dato origine al moto. Le grandezze con cui studieremo saranno percid lunghezze, velocita, accelerazioni e tempo. Un punto si manterra in quiete se, ad ogni istante di tempo, si mantiene nella medesima posizione rispetto ad un riferimento fisso.

Un punto é in moto se varia la sua posizione rispetto al riferimento fisso. La traiettoria é la linea formata dall’insieme delle posizioni che un punto occupa in tempi diversi. Data una certa traiettoria e preso un segmento di lunghezza s il punto lo percorrera con un certo tempo t. Si definisce allora velocita media il rapporto fra s e t:

Riducendo lo spazio in maniera da renderlo immedesimo ed introducendo il calcolo differenziale possiamo definire la velocita istantanea come la derivata dello spazio sul tempo:

Lo stesso punto che percorre lo stesso segmento di traiettoria s si trovera sul punto iniziale all’istante to. Percorrendo s alla velocita v0 a v, definiremo allora accelerazione media il rapporto fra la variazione di velocita ed il tempo:

In riferimento al calcolo differenziale possiamo definire l’accelerazione come la derivata della velocita rispetto al tempo:

Moto rettilineo uniforme.

I moto rettilineo uniforme é il movimento del punto che se sposta su una traiettoria rettilinea con velocita costante nel tempo. La relazione sulla velocita diviene:

da cui deriva quella dell’ accelerazione:

Di conseguenza, possiamo dire che il moto uniforme é quel moto per cui il punto percorre spazi uguali in tempi uguali. Si ricavano le seguenti formule:

Se il punto ha gia percorso un certo spazio so quest ultima diventa:

Moto rettilineo uniformemente accelerato.

Questo moto mantiene |’accelerazione di valore costante. Dal segno di am si vede se l’accelerazione é positiva o negativa e percio se il moto é accelerato o ritardato. Pertanto:

che risolta rispetto a v:

ed integrando quest’ultima otteniamo il valore di s:

ricordando che v0 é la velocita iniziale e sotto certe condizioni iniziali potrebbe essere nulla.

Moto circolare uniforme.

Il moto circolare uniforme é il moto dove un punto percorre una traiettoria circolare con velocita costante nel tempo. Sia O il centro della traiettoria circolare, il punto P si trova al to in una certa posizione e nel tempo t percorre l’arco di circonferenza PP’, definisco allora la velocita media:

questa velocita é un vettore tangente la circonferenza P é percio detta velocita tangenziale o periferica.

Valutando ora il moto del raggio OP che nel tempo t si é spostato dell’angolo a fino a pervenire in OP’ si definisce velocita angolare il rapporto fra l’angolo e il tempo in cui il raggio lo descrive:

che si misura in rad/s. Ovviamente la velocita tangenziale dipende dalla lunghezza del raggio, infatti ogni punto del Taggio possiede la stessa velocita angolare ma differenti velocita tangenziali che crescono in maniera proporzionale al raggio. Infatti:

Nelle applicazioni pratiche (motori, turbine, alberi rotanti), indicando con n i giri al minuto, sono pratiche le seguenti relazioni:

Moto circolare uniformemente accelerato. Sempre per traiettoria circolare con velocita che varia nel tempo, definisco l’accelerazione media tangenziale o periferica:

definisco inoltre l’accelerazione angolare:

Risultano evidenti le seguenti relazioni:

Infine si definisce l’accelerazione centripeta come quell’accelerazione che é presente in tutti i tipi di moto, escluso il rettilineo, ed é definita con un vettore applicato nel punto con direzione radiale e orientato verso il centro della traiettoria. La sua intensita é data da:

2.2. Moti relativi. Moto armonico. Moto elicoidale.

Moti relativi.

Questi tipi di moto si verificano quando il punto si muove rispetto ad un sistema di riferimento mobile, che a sua volta si muove rispetto ad un sistema di riferimento considerato fisso. Esistono allora tre tipi di velocita:

• velocita del punto rispetto al nferimento mobile che chiameremo velocita relativa vr;
• velocita con cui si sposta il sistema mobile rispetto al sistema fisso che chiameremo velocita di trascinamento vt;
• velocita del punto valutata rispetto al sistema fisso che chiameremo velocita assoluta va.

Queste tre velocita sono legate dalla seguente relazione:

Dove il segno ha significato sul verso del moto relativo del punto.

Nel caso generale dove la velocita relativa del punto é orientata diversamente da quella di trascinamento , l’espressione della velocita assoluta é da intendersi come somma vettoriale.

Moto armonico.

Preso un punto che si muove su una traiettoria circolare di raggio r con moto uniforme (v = cost), il moto armonico si propone di studiare il moto della proiezione P’ di P sul diametro. La proiezione P’ si muove di moto rettilineo alternato percorrendo due volte il diametro del cerchio ad ogni giro intero compiuto dal punto P.

Dalla figura che segue ricaviamo la legge del moto del punto P’:

considerando il punto in posizione generica si prende l’angolo B ed il suo complementare a, valgono le relazioni:

ricordando le formule del moto circolare:

Qui sotto é riportato il diagramma delle velocita nel moto armonico.

Alcune definizioni:

• periodo (T): intervallo di tempo in cui la velocita del punto assume gli stessi valori:

• frequenza (f): é l’inverso del periodo ¢ rappresenta il numero di periodi compiuti dal punto nell’unita di tempo:

Ovviamente il moto del punto P’avviene con continui cambiamenti di velocita, percio proiettando l’accelerazione centripeta troviamo l’accelerazione di P’:

In definitiva anche l’accelerazione come la velocita di P periodica.

Moto elicoidale.

Un punto materiale é sollecitato a muoversi con due velocita: vi costante lungo una traiettoria circolare di raggio r e v2 costante in direzione normale al piano della circonferenza. La composizione di queste due velocita da luogo ad un moto elicoidale. Lo spostamento verticale compiuto ad ogni giro dal punto é detto passo dell’elicoide.

Valgono le seguenti relazioni:

• il passo p é legato all’angolo di inclinazione a da:

• velocita del punto in funzione della velocita angolare, del passo e del raggio:

2.3 Moto dei corpi rigidi.

La cinematica dei corpi rigidi studia il moto di corpi di peso e dimensioni non trascurabili, soggetti a movimenti di una certa complessita.

Per un corpo rigido che é libero di muoversi nello spazio é necessario conoscere le traiettorie di almeno tre dei suoi punti e che non siano allineati. Questi tre costituiscono il triangolo di tiferimento il cui moto rispecchia quello dell’intero solido. Per un corpo rigido che é libero di muoversi parallelamente ad un piano é sufficiente conoscer solo due traiettorie di due punti che formano il segmento di riferimento.

Prendendo in esame il moto del cubo nella figura sopra, nell’istante di tempo t il segmento di riferimento si é spostato e tracciando dalla mezzeria di AA’ e BB’ un asse ortogonale (che in figura sono rispettivamente l’asse di AA’ e l’asse di di BB’) si pud dedurre che le due normali possono risultare:

• concorrenti in un punto reale (O)
• parallele, ovvero concorrenti all’infinito.

Nel nostro caso i due assi concorrono in un punto reale O e cio significa che il cubo ha compiuto una piccola rotazione intomo ad O potendo cosi definire O come centro di istantanea rotazione. La conoscenza del centro d’istantanea rotazione é utile per calcolare la velocita di spostamento di un estremo del segmento di riferimento quando sia nota la velocita dell’altro essendo infatti costante la velocita angolare:

DINAMICA

3.1 Leggi fondamentali.

La dinamica studia il moto dei corpi in relazione alle cause che lo producono o ne alterano comunque le caratteristiche.

Prima legge della dinamica.

Viene chiamata anche legge d’inerzia e afferma che: un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme fino a che non interviene una causa esterna capace di alterare comunque tale stato. La causa esterna deve essere intesa come la risultante del sistema di forze eventualmente applicato al corpo.

Seconda legge della dinamica.

Una forza applicata ad un corpo gli imprime una accelerazione proporzionale all’intensita della forza stessa ed orientata nella stessa direzione. Analiticamente:

con a ed F vettori fra loro proporzionali ed m inteso come massa del corpo.

Terza legge della dinamica.

Detta anche legge di azione e reazione: ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.

3.2 Sistemi di unita di misure.

Qui di seguito vengono riportate le grandezze fondamentali e derivate.

Alcuni fattori di conversione:

3.3 Momenti di inerzia di massa.

Si definisce momento statico d’inerzia di massa del solido, rispetto ad una retta prefissata, la sommatoria dei prodotti delle singole masse elementari per le rispettive distanze, misurate dal centro delle singole masse fino alla retta.

Si definisce momento d’inerzia assiale di massa di un solido, rispetto ad una retta, la sommatoria dei prodotti delle singole masse elementari per i quadrati delle rispettive distanze, valutate dal centro delle masse alla retta.

• il momento d’inerzia é minimo se calcolato rispetto al baricentro;
• il momento d’inerzia rispetto ad una qualunque retta é uguale al momento baricentrico sommato alla massa totale per la distanza fra la retta e il baricentro al quadrato:

Si definisce momento d’inerzia polare di massa di un corpo solido rispetto ad un punto P, la sommatoria dei prodotti delle singole masse per i quadrati delle rispettive distanze dal punto P.

Si definisce infine raggio d’inerzia la radice quadrata del rapporto fra il momento d’inerzia e la massa.

3.4 Lavoro. Energia. Potenza.

Si definisce lavoro compiuto da una forza F il prodotto dell’intensita della forza per lo spostamento che essa ha provocato; quest’ultimo coincide con lo spostamento del punto di applicazione della forza stessa.

Nel caso pit generale il lavoro di una forza é il prodotto dell’intensita della componente della forza, calcolata nella direzione dello spostamento, per lo spostamento subito dal suo punto di applicazione.

Inoltre si pud definire lavoro motore (positivo) quello compiuto dalla forza motrice e lavoro resistente (negativo) quello compiuto dalla forza resistente.

Il lavoro viene espresso:

• kilogrammo-forza metro nel sistema tecnico con il kgf = kilogrammetro;
• dina centimetro nel sistema assoluto con dyn cm = erg;
• newton metro nel S.J. con Nm = joule (questa é l’unita di misura che utilizzeremo).

Possiamo vedere che il lavoro compiuto da una forza é indipendente dal tempo impiegato per svolgere l’operazione di spostamento. Si definisce percio potenza sviluppata da una forza il rapporto fra il lavoro da essa compiuto ed il tempo impiegato a compierlo.

La potenza viene espressa:

• nel sistema tecnico con kilogrammetri al secondo;
• nel sistema assoluto con erg al secondo;
• nel S.I. con joule al secondo.

Si definisce energia |’attitudine di un corpo a compiere lavoro e cid comporta la presenza di una forza capace di effettuare uno spostamento. Si misura in kgf m, in erg e in joule.

Ci sono tre tipi di energia meccanica:

• energia di posizione;
• energia di deformazione;
• energia di pressione.

Tali energia rientrano nella pit ampia delle energie quelle dette potenziali in quanto si pud ricavare del lavoro se adeguatamente utilizzate.

Dalla figura sopra possiamo ricavare alcune relazioni fondamentali.
La sua energia potenziale di posizione é:

Dove p é la forza peso.
Si definisce poi energia cinetica quell’energia dipendente dalla velocita e dalla massa del corpo:

Definite energia potenziale e cinetica possiamo enunciare il principio di conservazione dell’energia: la somma dell’energia potenziale e dell’energia cinetica, posseduta da un corpo qualsiasi, é costante.

Oppure, nel senso piu ampio, si pud enunciare nel seguente modo, che Helmholtz enuncio nel 1947: “La somma delle energie dell’universo é una quantita costante; l’energia quindi si trasforma e non si distrugge”.

3.5 Fenomeni dell’urto.

Due elementi materiali subiscono un urto quando vengono ad interagire per un tempo molto breve, durante il quale essi scambiano delle forze talmente forti che le forze esterne possono essere trascurate. Durante un urto si conserva la quantita di moto (urti anelatici) e in altri casi si conserva pure l’energia meccanica totale (urti elastici).

Urti elastici centrali.

Negli urti centrali le velocita iniziali (vi) di due elementi materiali hanno la direzione della loro congiungente, cid avviene per semplicita anche per le velocita finali (vs). La velocita espressa nelle relazioni che seguono é quella proprio lungo la congiungente. (vedi figura sotto)

Nel caso in cui due elementi materiali abbiano uguale massa, la velocita finale dell’uno coincide con quella iniziale dell’altro. Inoltre, sempre a parita di massa, accade che uno dei due si trovi in posizione di quiete dopo l’urto; l’elemento che si muoveva rimarra in quiete, l’altro procede con la velocita del primo. infine se uno dei due ha massa molto maggiore dell’altro e si trova in quiete dopo l’urto, l’elemento leggero avra invertito la sua velocita.

Urti anelatici centrali

Ci limitiamo a considerare gli urti perfettamente anelastici ovvero quelli nei quali dopo I’urto le particelle rimangono unite l’una all’altra muovendosi con la medesima velocita. In questo caso il principio di conservazione della quantita di moto assume la forma:

da cui si deduce:

In un urto perfettamente elastico l’energia meccanica non si conserva. Un’ applicazione importante é il pendolo balistico (vedi figura sotto). Qui la velocita finale assume la forma:

RESISTENZE PASSIVE

4.1 Attrito di strisciamento.

Consideriamo un corpo di forma parallelepipeda disposto su un piano orizzontale o in un piano inclinato. La realta ci mostra che nel caso volessimo spostare questo corpo, bisognerebbe applicare una forza, che se piccola potrebbe addirittura non provocare nessuno spostamento; nel caso in cui sia sufficiente comunque, il corpo in un certo istante tornera nello stato di quiete. Percio esiste una forza che ¢ contraria a quella che noi imponiamo al corpo. Attraverso prove sperimentali si perviene a stabilire che la resistenza di attrito radente 6:

• direttamente proporzionale alla forza con cui le due superfici (corpo e piano) sono premute tra di loro;
• dipendente dalla natura e dalla rugosita delle superfici a contatto;
• dipendente, inoltre, dall’eventuale presenza di fluidi interposti fra le due superfici.

Prendiamo il caso del piano orizzontale. La resistenza di attrito radente R é espressa nel seguente modo:

Dove f é il coefficiente di attrito radente dipendente dagli ultimi due punti esposti sopra e P il peso del corpo. Nel caso del piano inclinato dovremmo cercare la componente normale della forza peso, poiché l’espressione della resistenza d’attrito ora diventa:

Dove N é la risultante di tutte le forze agenti perpendicolarmente al piano di appoggio o delle loro componenti nella direzione suddetta; nel caso sopra disegnato:

4.2 Attrito dei perni.

Ciriferiamo solo ai perni a strisciamento. Si suddividono in perni portanti e perni di spinta.

Perni portanti.

Sono appendici cilindriche che ruotano, con minimo gioco, entro opportune cavita praticate nel supporto e sono soggetti ad una forza N perpendicolare al proprio asse geometrico.

Il cuscinetto tende ad adagiarsi sulla parte inferiore del supporto, il contatto avviene lungo una generatrice, che nel caso statico ha per traccia il punto C, ma nel caso di moto tende ad arrampicarsi sulla superficie inclinata della cavita fino a raggiungere C’. (vedi figure)

Nel moto di rotazione si sviluppa la resistenza di attrito R = fN applicata in C’ e disposta tangenzialmente alla circonferenza di contatto, con verso tale da opporsi al moto del perno. Essa da origine ad un momento di attrito

Perni di spinta.

Quei perni che sopportano forze dirette secondo il loro asse longitudinale.

L’esatta distribuzione delle singole resistenze sulle superfici circolari a contatto non é ben nota; supponendo che esse siano distribuite uniformemente, per ognuno degli infinti settori circolari in cui il cerchio pud essere scomposto, la risultante delle varie resistenze pud essere applicata nel baricentro G di esso a distanza dal centro O:

In questa ipotesi, la resistenza di attrito é tangente alla circonferenza di raggio r’ ed il momento di attrito é:

4.3 Attrito di rotolamento.

Consideriamo un corpo cilindrico, appoggiato su un piano orizzontale, sottoposto ad una forza N normale al piano passante per il centro O. (vedi figura) Se il corpo ed il piano sono indeformabili allora si avrebbe un punto di contatto C. Nella realta peré si verifica che il contatto avviene lungo la zona C’C’’ pill o meno estesa. (vedi figura) Se il corpo cilindrico é in quiete, la reazione del piano N’ ha la stessa retta d’azione di N, ma se il cilindro si muove rotolando sul piano, la reazione N’ si sposta parallelamente a se stessa, in avanti nel senso del moto, passando per il punto C’; essa insieme ad N costituiscono una coppia tendente a contrastare 11 moto, di momento:

ovvero

E’ chiaro che per mantenere il moto uniforme occorre applicare una forza motrice capace di produrre un momento contrario a Mr; se la forza motrice é parallela al piano e passante per O agisce con il braccio r e pertanto:

poiché deve risultare che 1 due momenti siano uguali allora:

per cui:

che ci consente di determinare |’entita della forza motrice, necessaria per equilibrare il momento resistente dovuto all’attrito di rotolamento; cid equivale a dire che la resistenza R ha la stessa espressione:

e risulta percio:

• direttamente proporzionale alla forza premente N;
• inversamente proporzionale al raggio r del corpo;
• direttamente proporzionale alla lunghezza b che definiremo coefficiente di attrito di rotolamento.

4.4 Attrito di avvolgimento.

Consideriamo un corpo cilindrico impossibilitato a ruotare, intorno al quale si avvolge, per un certo tratto, una fune all’estremita della quale sia applicato un peso Q o qualsiasi forza resistente e valutiamo la forza motrice necessaria per sollevare il peso. Questa forza deve vincere, oltre che il peso, anche la resistenza d’attrito che si sviluppa lungo l’arco di contatto.

Questo tipo di resistenza passiva é tanto pil grande quanto pid é esteso il contatto. La forza motrice necessaria per il sollevamento di Q, con moto uniforme, si calcola con la seguente relazione:

in cui:

• f é ilcoefficiente di attrito radente;
• a é langolo di contatto tra fune e corpo cilindrico;
• e é il numero di Eulero.

Dalla relazione é facile capire come di grande importanza é |’angolo di contatto in quanto si trova
come esponente. Anche f é ad esponente peré esso assume valori fra 0,2 e 0,5.

4.5 Rendimento meccanico.

Si definisce lavoro utile Lu il lavoro della forza resistente al quale si oppone il lavoro compiuto dalla forza motrice che é il lavoro motore Lm. La presenza delle resistenze passive altera lo stato delle cose, poiché la forza motrice reale dovra assumere un valore superiore a quelle calcolato teoricamente, che si differenzia per un lavoro che chiameremo lavoro perduto Lp tale che:

Un organo meccanico é conveniente quando riesce a rendere minimo il lavoro perduto, per questo definiamo il rendimento meccanico, proprio per porre in evidenza la maggiore o minore funzionalita di un meccanismo:

RESISTENZA DEI MATERIALI

5.1 Deformazioni e legge di Hooke

In questo capitolo vengono date le seguenti ipotesi:

• ciriferiremo sempre a solidi omogenei, cioé stesse caratteristiche fisiche in tutti 1 punti;
• ciriferiremo a corpi isotropi cioé quelli che presentano le stesse caratteristiche di elasticita in tutte le direzioni.

Inoltre i sistemi di forze esterne sono ridotti nel sistema a tre assi cartesiani (O,x,y,z) ottenendo percio tre risultanti e tre momenti. Questi sei parametri costituiscono le sollecitazioni esterne i cui effetti nella struttura in esame devono essere limitati per non portarla a rottura o deformazioni pericolose.

Nella figura é rappresentata una trave generica in cui l’asse x coincide con l’asse geometrico della trave stessa. I sei parametri vengono indicati con i simboli seguenti:

• N sforzo normale o assiale: agisce secondo l’asse longitudinale, la trave é soggetta a sollecitazioni di compressione o trazione;
• Tye Tz sforzi taglianti o di taglio: tendono a tagliare la trave agendo perpendicolarmente al suo asse longitudinale, sul solido agisce solo una delle due componenti; é soggetto a sollecitazione di taglio;
• Mzyo Mt momento torcente: agendo su un piano normale all’asse del solido tende a torcerlo intorno all’asse stesso; é soggetto a sollecitazione di torsione (se solo presente questo tipo di parametro);
• Mxy e Mzx o Mr momenti flettenti: tendono ad inflettere (piegare) la trave nello stesso piano in cui agiscono; se soggetta solo a questa si dice sollecitazione di flessione.

Inoltre nessun materiale pud ritenersi perfettamente rigido, ed ogni corpo soggetto a vincoli e forze esterne presenta deformazioni pit o meno notevoli. Tipi di deformazioni:

• per sollecitazioni moderate le deformazioni sono relativamente modeste e si annullano all’annullarsi della sollecitazione. Queste sono deformazioni elastiche ¢ sono temporanee;
• per sollecitazioni intense la deformazioni aumentano fortemente e soprattutto perdono la loro caratteristica di elasticita. Queste sono deformazioni plastiche ovvero permanenti.

Il passaggio dall’una all’altra dipende sia dalla sollecitazione sia dal materiale stesso. E’ evidente che bisogna evitare deformazioni plastiche e percid bisogna dimensionare i pezzi in maniera tale da evitare che i carichi agenti possano produrre tali deformazioni.

Nel corso del tempo sono state effettuate innumerevoli prove su oggetti di vari materiali in modo tale da poter conoscere le caratteristiche di questi é i loro comportamenti. La pit famosa é la prova di trazione. Essa consiste nel sottoporre un provino del materiale in esame ad uno sforzo di trazione graduale fino a che si verifichi la rottura del pezzo. Le dimensioni di questo provino sono stabiliti dalle Norme UNI.

I due morsetti vengono fissati solidamente ad una macchina, uno é fisso l’altro é mobile. Attraverso questa prova é possibile ricavare il diagramma degli allungamenti in funzione dello sforzo applicato. Criteri per la costruzione del diagramma:

• sull’asse delle ordinate si riporta il seguente valore :

sull’asse delle ascisse:

che é la deformazione relativa, con Al=I-lo

Cio premesso esaminiamo il comportamento di un provino di materiale duttile sottoposto alla prova di trazione :

• all’inizio, il diagramma presenta un tratto rettilineo molto prossimo alla verticale; cio significa che le deformazioni sono elastiche, di modesta entita e soprattutto sono proporzionali all’intensita dei carichi applicati.

II tratto rettilineo ha termine in corrispondenza di un valore (opma nella maggior parte dei libri di testo é indicato come R,) del rapporto carico/sezione, oltre il quale cessa la caratteristica della proporzionalita fra sforzi e deformazioni. II valore « op » viene definito « carico unitario al limite di proporzionalita » e la sua importanza nello studio della resistenza dei materiali é enorme in quanto tale studio é basato proprio sulla « legge di proporzionalita », enunciata da Roberto Hooke nel 1678, che riteniamo utile riportare:

Finché le sollecitazioni esterne non superano il limite di proporzionalita caratteristico del materiale, le deformazioni che il solido presenta sono proporzionali alle forze che le hanno prodotte.

• Aumentando I’intensita del carico, le deformazioni aumentano perdendo la caratteristica della proporzionalita con le forze, ma rimanendo tuttavia nel campo dell’elasticita del materiale; tale comportamento ha termine quando la sollecitazione raggiunge il valore « o, » detto «carico unitario al limite di elasticita ».

Tale limite non sempre é chiaramente individuabile con le prove di trazione; esso comunque é molto prossimo al limite di proporzionalita e per qualche materiale addirittura coincide con quest’ultimo.

• Superato il limite di elasticita, il provino comincia a presentare deformazioni permanenti che ne riducono sensibilmente le proprieta meccaniche.

Molto spesso (ma non sempre) il diagramma rivela un breve tratto nel quale il comportamento del materiale denuncia sensibili anomalie; il diagramma si presenta « seghettato » manifestando chiaramente sintomi di cedimento.

La zona di queste deformazioni anomale é individuata dal « carico unitario di snervamento » o pit comunemente « limite di snervamento » (os 0 Ra).

• Oltrepassato tale limite, il materiale ha perduto ormai la capacita di resistere alle sollecitazioni esterne. Ha inizio infatti la zona delle grandi deformazioni caratterizzata da un tratto del diagramma variamente incurvato, ma, in ogni caso, poco inclinato sull’orizzontale; cid sta a dimostrare che a picco lissimi incrementi del carico, corrispondono deformazioni notevolli.

Aumentando ulteriormente lo sforzo di trazione, il provino si spezza e la prova é conclusa. La parte finale del diagramma merita tuttavia qualche considerazione pit approfondita: quando la sollecitazione esterna ha raggiunto il valore (Fmax) cui corrisponde il massimo carico unitario (or o R,,), il materiale € ormai prossimo al collasso, e il diagramma presenta, talvolta, un tratto finale assolutamente illogico; la curva infatti é discendente (linea a tratti nella figura) il che farebbe pensare che ad un aumento della deformazione corrisponda una riduzione del carico applicato.

Nell’uno e nell’altro caso é evidente che la caratteristica principale del materiale é costituita proprio dallo sforzo massimo (Fax) che il provino é riuscito a sopportare; tale sforzo, rapportato all’area iniziale della sezione retta del provino viene assunto come « carico unitario di rottura or, Ru del materiale, e su di esso verranno impostati quasi tutti 1 procedimenti di calcolo.

E il caso di rilevare che il diagramma rappresenta uno schema didattico non molto comune nelle prove pratiche. I materiali fragili (come, ad esempio, la ghisa) difficilmente presentano il tratto anomalo corrispondente allo snervamento (figura sotto sinistra); la curva infatti sale molto ripida, distaccandosi quasi subito dalla retta uscente dall’origine, il che dimostra come la deformazione (€) ed il carico unitario (o) non siano rigorosamente legati fra loro dalla legge di Hooke.

Materiali malleabili, come il rame, raggiungono rapidamente lo snervamento (senza peraltro presentare il caratteristico tratto seghettato), manifestando ampie deformazioni anche sotto carichi piuttosto esigui (figura sotto destra).

5.2. Le Tensioni interne

La capacita di resistenza di un materiale dipende principalmente dalla sua natura oltre che dagli eventuali processi tecnologici cui é stato assoggettato; esso é in condizione di sopportare sollecitazioni esterne tanto pil intense, quanto maggiori sono le forze di attrazione molecolare che si sviluppano nell’interno in seguito all’applicazione dei carichi.

Tali forze di coesione, che adesso definiremo pit propriamente « tensioni interne », crescono all’aumentare delle sollecitazioni esterne fino a raggiungere un certo limite caratteristico dei materiale; oltre tale limite, le forze molecolari non sono pit sufficienti a tenere « attaccate » due molecole contigue ed il pezzo si rompe. E chiaro che la rottura é avvenuta per eccesso di sollecitazioni esterne sul pezzo in esame; sarebbe stato sufficiente limitare le sollecitazioni a valori inferiori oppure impiegare un pezzo di dimensioni maggiori per evitare la rottura.

La prova di trazione che abbiamo descritto nel precedente paragrafo si presta egregiamente a chiarire il concetto; consideriamo un solido prismatico di forma allungata (vedi figura sottostante), soggetto a due forze (F) eguali ed opposte, agenti lungo il suo asse geometrico e cerchiamo di valutarne gli effetti prodotti su due sezioni contigue, 8 ed S’, che nella figura citata sono state disegnate ad una certa distanza fra loro per maggior chiarezza di esposizione.

Poiché le due forze esterne (F) tendono ad allungare il solido (sforzo di trazione) le due sezioni tendono a staccarsi, ed a questo fenomeno di allontanamento reciproco si oppongono le tensioni interne, crescenti all’aumentare delle forze esterne.

Su ogni area elementare (a) della sezione S si sviluppa una tensione interna (o) diretta normalmente alla sezione stessa; a sua volta, su ogni area elementare della sezione S’ si genera una tensione eguale ed opposta alla prima. II complesso di tali tensioni fa si che le due sezioni rimangano attaccate » finché lo consente la resistenza del materiale impiegato; quando le tensioni interne superano tale limite esse non sono pit sufficienti ad assicurare l’integrita del pezzo.

Se le singole aree elementari (a) si suppongono di valore unitario (1 cm?, 1 mm?, ecc.) si parla di « tensioni interne unitarie » e a queste si fa riferimento ogni qualvolta si debba procedere al dimensionamento di un organo meccanico.

L’esempio citato rappresenta evidentemente un caso particolare avendo fatto specifico riferimento alla prova di trazione; cid non esclude tuttavia che il ragionamento possa essere esteso ad una struttura qualsiasi soggetta ad una sollecitazione esterna generica.

Se immaginiamo (figura sopra) di poter isolare nell’interno del solido un elemento piano di area « a » comunque orientato, attraverso tale elemento, il materiale che é da una parte esercita una certa forza (p) — generalmente obliqua rispetto all’elemento stesso — sul materiale che si trova dall’altra parte e quest’ultimo reagisce con una reazione eguale e contraria.

La tensione interna (p) pud essere scomposta in due componenti, una normale ed una tangenziale all’elemento, che indicheremo rispettivamente con i simboli « o » (sigma) e « t » (tau). In definitiva, su ogni elemento di area unitaria comunque scelto nell’interno del solido, potremo calcolare:

• una tensione interna unitaria normale all’elemento (0);
• una tensione interna unitaria tangenziale all’elemento (t) che misureremo comunemente in N/mm? (0 kgf/mm? ) come visto per o.

Le tensioni interne rivestono una grande importanza nello studio della resistenza dei materiali, in quanto costituiscono un sistema di forze che puo essere impiegato nei calcoli in sostituzione delle sollecitazioni esterne.

Per chiarire tale affermazione consideriamo la trave rappresentata in figura sotto e siano noti i valori delle forze agenti e delle conseguenti reazioni dei vincoli.

Attraverso una sezione generica (S) il tronco di destra trasmette a quello di sinistra un sistema di tensione interne; il tronco di sinistra (che ¢ ovviamente in equilibrio) é soggetto alla forza esterna (FI), alla reazione dell’appoggio (Ra) (che costituisce anch’essa una sollecitazione) ed alle tensioni interne ad esso trasmesse dall’altro tronco attraverso la sezione S$; tali tensioni, pertanto, equilibrano il sistema formato dalla forza « F, » e dalla reazione « Ra».

Ad analoga conclusione si perviene esaminando l’equilibrio del tronco di destra; il sistema delle tensioni interne trasmesse attraverso la sezione S equilibra il sistema costituito dalla forza « F2 » e dalla reazione « Rb ».

Generalizzando, si pud affermare che: Il sistema di tensioni interne trasmesse da un tronco all’altro della trave attraverso una sezione generica (S) fa equilibrio al sistema di forze esterne (comprese le reazioni dei vincoli) agenti su quest’ultimo.

Le conclusioni cui siamo pervenuti sono di importanza fondamentale; nei procedimenti di calcolo é possibile sostituire le sollecitazioni esterne, con le tensioni interne che — come vedremo in seguito — sono di facile determinazione. In altre parole, bastera dimensionare il pezzo in questione in modo che le tensioni interne unitarie non superino un valore prefissato.

5.3 Criteri di resistenza dei materiali.

Tensione limite

Il calcolo strutturale degli elementi di una costruzione o di organi meccanici si prefigge l’obiettivo di garantime la sicurezza, cioé di garantire che non si verifichino deformazioni intollerabili o, addirittura, la rottura dell’organo in esame. Nel momento in cui risultano note le caratteristiche di sollecitazione in corrispondenza della sezione pit pericolosa di un corpo, si possono ricavare i valori delle tensioni in ogni punto, identificando i punti pit gravosi ai fini della verifica di resistenza. La verifica consiste nell’accertare che il valore della tensione interna massima Om,x sia inferiore ad una tensione limite di pericolo, relativa alla sollecitazione, affinché l’organo in esame risulti in sicurezza. Per tutti i materiali sottoposti a sollecitazione assiale, si assume come tensione limite, quella di rottura Ryo quella di snervamento Rg.

Tuttavia nei calcoli di progetto e di verifica non si pone mai a base del calcolo la tensione limite Ry o Rg, perché se durante il funzionamento si arrivasse a una sollecitazione pari ad una di esse, non si potrebbe escludere il verificarsi dei danni prima accennati, sia pure con maggiore o minore probabilita a seconda dei casi. Concorrono diverse cause a creare tale possibilita di danni: difetti interni ed esterni del materiale; difetti di esecuzione o di montaggio; carichi pit gravosi di quanto previsto nei calcoli; metodi semplificati di calcolo delle tensioni, ottenendo valori diversi da quelli reali e cosi via.

Dunque risulta necessario porre a base del calcolo una frazione della tensione limite, detta tensione ammissibile statica cam; 0 carico di sicurezza. Cio che é stato descritto per la valutazione della tensione ammissibile é sufficientemente esatto per tutti gli elementi strutturali gravati da carichi statici; ma tali ipotesi difficilmente si verificano nelle costruzioni meccaniche, i cui organi sono spesso soggetti a sollecitazioni variabili nel tempo, per cui la sicurezza é assicurata imponendo che le tensioni interne siano inferiori ad una nuova tensione limite, definita limite di resistenza a fatica.

Tensione ideale

Nel caso generale in cui agiscano contemporaneamente due o pit caratteristiche di sollecitazione, che danno origine ad uno stato di tensione pluriassiale, la tensione ammissibile si confronta con una tensione ideale ojq monoassiale ugualmente pericolosa, perché applicata da sola, farebbe raggiungere all’elemento in esame, la stessa condizione limite provocata dal sistema pluriassiale di tensioni effettivamente applicate.

Per stabilire la relazione tra tensioni pluriassiali e una tensione monoassiale equivalente, si ricorre a
diverse ipotesi di rottura, o teorie di resistenza citate di seguito.

• Ipotesi della massima dilatazione: il cedimento del materiale si verifica in corrispondenza del
  raggiungimento di una deformazione limite.
• Ipotesi della massima tensione tangenziale: la tensione ideale é quella che applicata come tensione
  normale di trazione o compressione pura; fornisce una tensione tangenziale pari a quella effettiva.

L’espressione della tensione ideale é:

• Ipotesi dell’energia di distorsione (Von Mises): si ammette che la rottura avvenga per effetto della massima energia di distorsione raggiunta dal materiale in esame, intendendo come tale la differenza fra l’energia di deformazione massima e l’energia che comporta solo una variazione di volume del corpo stesso.

L’espressione della tensione ideale diventa:

Questa ipotesi di rottura é raccomandata dalle normative UNI per le costruzioni metalliche.

Tensione ammissibile statica

Si introduce un coefficiente numerico, detto grado di sicurezza g, quindi la tensione ammissibile Gams, in condizioni di sollecitazioni statiche, si esprime nella forma seguente:

Affinché per un elemento strutturale non si verifichino pericolo di cedimento, eccesive deformazioni o rottura, occorre che il valore massimo delle tensioni interne non superi il valore della tensione ammissibile:

• per tensioni normali statiche dev’ essere:

Dove oams é detta tensione normale ammissibile;

• per tensioni tangenziali statiche deve essere:

In cui Tams prende il nome di tensione tangenziale ammissibile.

Il valore della tensione tangenziale ammissibile pud essere espresso in funzione della tensione normale ammissibile mediante la seguente relazione:

Per materiali fragili che giungono a rottura con piccole deformazioni, il calcolo della tensione ammissibile si esegue facendo riferimento alla tensione di rottura Rm.

Per i materiali duttili, come gli acciai che giungono a rottura con notevole deformazione, non potendo ammettere eccessiva deformazioni, si fa riferimento alla tensione di snervamento Ra.
Quindi si avra:

• per materiali fragili:

• per materiali duttili:

Poiché al superamento della tensione di snervamento, da parte della tensione agente nel solido, non corrisponde immediatamente un pericolo di grave danno, come invece accade superando la tensione di rottura Ry, si potranno assumere, per il grado di sicurezza g,, valori inferiori di g, adottati nei confronti della tensione di rottura.

I regolamenti fissano i valori delle tensioni ammissibili, e quindi implicitamente anche i gradi di sicurezza rispetto alla rottura e rispetto allo snervamento: per gli acciai di uso generale, appartenenti ai tipi S 235, S 275, S355 (designati secondo la UNI EN 10027/1), si possono assumere, secondo la norma UNI-CNR 10011, i valori di Oams riportati nella tabella: CNR-UNI10011.pdf (unige.it)

Grado di sicurezza

E’ possibile definire grado di sicurezza come il rapporto tra la tensione di rottura, o la tensione di snervamento, e la tensione massima prevedibile nei punti pit: pericolosi di un elemento strutturale. Nella scelta del grado di sicurezza si dovra tener conto di diversi fattori, dovuti all’impossibilita di conoscere completamente |’effettivo stato di sollecitazione e le effettive caratteristiche di resistenza del materiale, oltre a possibili differenze tra tensioni calcolate e tensioni reali.

Il grado di sicurezza dovra essere tanto piu elevato quanto pil sommario é il calcolo, come procedimento e come considerazioni delle cause di sollecitazione e pit incerti sono i dati sul comportamenti del materiale. Questo non puo essere scelto in modo esatto, ma viene valutato sulla base di valori che l’esperienza ha indicato come mediamente sufficienti.

Una volta esaminate le sollecitazioni esterne nelle condizioni pit: sfavorevoli e scelti i materiali da impiegare, si effettuano i calcoli necessari per la verifica o il dimensionamento del componente:

• la verifica consiste nel determinare la tensione interna massima cui é soggetto il materiale, verificando, che essa sia inferiore al valore della tensione ammissibile;
• il dimensionamento consiste nel determinare le dimensioni minori della tensione resistente dell’organo in esame, imponendo che la tensione interna massima del materiale non superi la tensione ammissibile.

Riassumendo, lo studio di una sezione resistente ¢ composto dalle seguenti parti:

• calcolo delle razioni vincolari;
• determinazione delle sollecitazioni massime agenti sulla struttura;
• valutazione della tensione ammissibile;
• dimensionamento o verifica della struttura, confrontando la tensione interna massima con la tensione ammissibile;
• eventuale calcolo delle deformazioni.

5.4 Sollecitazione di fatica

Non sempre le forze applicate agli organi delle macchine si mantengono costanti nel tempo, ma nella maggioranza dei casi variano periodicamente, secondo cicli che si ripetono un elevato numero di volte durante la vita dell’organo, generando sollecitazioni dette di fatica. Un materiale soggetto a tale tipo di sollecitazione, presenta una resistenza minore rispetto a quella che avrebbe se fosse sottoposto a sollecitazioni statiche della stessa intensita massima.

Le sollecitazioni di fatica possono essere di tipo pulsante o alternato, a seconda del variare periodico delle forze, cui corrisponde una proporzionale variazione delle tensioni, vale a dire, secondo il ciclo di carico seguito. Per definire un ciclo occorre indicare i valori massimo e minimo entro 1 quali oscilla la tensione nel punto pit sollecitato, ricavando i seguenti parametri caratteristici comuni a tutti i tipi di sollecitazione:

• ampiezza dell’oscillazione della tensione oy:

• tensione media om:

Nelle figure sottostanti sono rappresentati i tipi di ciclo che descrivono le sollecitazioni alternate e pulsanti:

• ciclo alterno simmetrico, in cui la tensione varia tra due limiti di uguale intensita e verso opposto;
• ciclo alterno asimmetrico, in cui la tensione varia tra due limiti di diversa intensité e verso opposto;
• ciclo pulsante, dove la tensione varia tra due limiti dello stesso segno;
• ciclo dallo zero, quando presenta una tensione variabile tra due limiti di cui uno é nullo, quest’ultimo é considerato un caso particolare di sollecitazione pulsante.

Leggi della sollecitazione a fatica

Lo studio della resistenza a fatica si realizza sperimentalmente con macchine di prova, la pit. comune delle quali é quella per prove di flessione rotante. Tale prova consiste nel porre in rotazione una provetta, a sezione circolare, sottoposta a carichi con intensita e direzione costanti, che generano la flessione della provetta stessa. Se in un determinato istante le fibre superiori della provetta, rispetto all’asse neutro, sono soggette a compressione e quelle inferiori a trazione, durante la rotazione dell’albero, a ogni mezzo giro corrisponde un’inversione delle sollecitazioni cui é sottoposta ogni singola fibra. Di conseguenza le fibre che prima erano compresse si trovano ad essere tese, mentre quelle precedentemente tese risultano compresse.

La provetta é soggetta ad una sollecitazione alternata simmetrica e con la prova di flessione rotante si determina il numero di cicli della sollecitazione, per cui si ha la rottura della provetta.

In particolare si osserva che, se la sollecitazione é di poco inferiore al limite elastico, la rottura si verifica dopo pochi cicli di carico; al contrario il numero di cicli che provoca la rottura aumenta se la massima sollecitazione diminuisce gradualmente: questo finché non si perviene ad una sollecitazione limite, detta limite di resistenza a fatica o.y, al di sotto della quale non si verifica mai la rottura della provetta, indipendentemente dal numero di cicli.

Per realizzare altri tipi di cicli si utilizzano macchine pit complesse, sottoponendo una serie di provette uguali a cicli di tipo ed ampiezza diversi. I risultati delle prove di fatica si possono riportare su di un diagramma detto di Wohler, che ha in ascisse il numero di cicli n che provocano la rottura e in ordinate i valori dell’ampiezza della tensione o, corrispondente al carico massimo in ogni ciclo.

Osservando la curva di Wohler relativa ad una sollecitazione alternata simmetrica, si nota un tratto rapidamente decrescente nel verso crescente delle ascisse, seguito da un tratto che tende asintoticamente alla retta parallela all’asse delle ascisse, la cui coordinata corrisponde al valore del limite di resistenza a fatica oLF.

In mancanza di dati sperimentali, la tensione ammissibile a fatica, riferita per esempio ad una sollecitazione normale, si pud ottenere anche dalla seguente relazione:

Questa relazione é valida anche per le sollecitazioni tangenziali; da essa si deduce che:

la sollecitazione ha carattere statico; percid la tensione ammissibile a fatica é uguale alla tensione ammissibile statica:

per le sollecitazioni di fatica pulsante dallo zero, in cui

si ha:

se le sollecitazioni sono di fatica alternata, con

la tensione ammissibile a fatica vale:

Per le tensioni tangenziali si adotta la tensione ammissibile a fatica:

SOLLECITAZIONI SEMPLICI

6.1 Sollecitazioni assiali di trazione o di compressione

Si voglia considerare una trave rettilinea, a sezione costante in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze esterne; il sistema é ridotto a due forze normali o assiali N, applicate nei baricentri delle sue sezioni estreme.

In qualunque sezione trasversale S della trave agisce la forza normale N, unica caratteristica di sollecitazione presente; le altre caratteristiche, vale a dire i momenti flettenti, le forze di taglio e i momenti torcenti, sono tutte nulle. Questo é un caso di sollecitazione semplice di trazione.

Sotto l’ipotesi della conservazione delle sezioni piane, secondo cui le sezioni trasversali si spostano parallelamente a loro stesse, per effetto delle deformazioni generate dalle forze esterne, le fibre longitudinali della trave risultano ugualmente tese, cioe subiscono lo stesso allungamento totale Al e lo stesso allungamento relativo ¢. Pertanto, secondo la legge di proporzionalita tra tensioni e deformazioni (legge di Hooke), si ha:

Anche le tensioni interne o assumono lo stesso valore in tutti i punti della sezione S di area A, e si esprimono mediante la seguente relazione:

L’allungamento relativo ¢ della trave di lunghezza iniziale Li; vale:

Dove Al é I’allungamento assoluto subito dalla trave. Applicando varie sostituzioni:

Quest’ultima relazione consente di determinare 1’allungamento del corpo note le sue dimensioni, la forza di trazione e la qualita del materiale, inoltre il prodotto EA é definito rigidezza a trazione della trave.

Calcoli di progetto e di verifica

Ricavato il valore della tensione massima si assume un’opportuna tensione ammissibile statica

carico di sicurezza. Perché un corpo resista alle sollecitazioni esterne, dev’ essere:

Questa é l’equazione di stabilita e si presta sia ai calcoli di progetto (dimensionamento) sia a quelli di verifica della resistenza di corpo.

I calcoli di verifica della resistenza accertano le condizioni di sicurezza e verificano se un corpo, di dimensioni assegnate e noto il materiale con cui é realizzato, é in grado di resistere ai carichi applicati; a tale scopo si applica l’espressione seguente:

Che consente di verificare che per ogni condizione di carico N, la conseguente N/A, nella sezione pit sollecitata, sia inferiore o al massimo uguale alla tensione ammissibile statica

6.2 Sollecitazione di flessione

Nel caso in cui delle sei caratteristiche di sollecitazione che possono agire sulla sezione generica di una trave, sia presente solo il momento flettente Mg, costante in tutte le sezioni.

Applicando due coppie di forze, uguali e contrarie e di momento Mf, alle estremita della trave a sezione costante, questa si deforma e il suo asse geometrico assume la forma di un arco di circonferenza.

Il piano xy delle coppie, contenente l’asse x della trave, é detto piano di sollecitazione e la retta y d’intersezione tra il piano e quello della sezione S considerata é denominata asse di sollecitazione. A causa di queste coppie, le fibre longitudinali della trave, poste dalla parte della concavita, sono soggette a compressione, quindi si accorciano, mentre quelle dalla parte della convessité sono sottoposte a trazione, pertanto si allungano.

Si dimostra che le fibre poste all’altezza del baricentro della sezione considerata, mantengono la stessa lunghezza; la loro traccia, rappresentata dalla retta z, é denominata asse neutro.

Considerando la trave rappresentata sotto, divisa idealmente in due tronchi dalla sezione S di traccia A-A, si osserva che il tronco di sinistra é in equilibrio, sotto l’azione della coppia applicata all’estremita sinistra della trave e delle forze trasmesse dal tronco di destra, equivalenti alla coppia applicata all’ estremita destra della trave.

Ogni piccolo elemento di area AA, costituente l’area della sezione S, é posto alla distanza y; dall’asse neutro ed é interessato dalle tensioni o;. Pertanto le forze trasmesse attraverso ciascun elemento di area, per definizione di tensione, valgono:

Per l’equilibrio del tronco di sinistra della trave, soggetto al momento flettente Ms, applicato all’ estremita di sinistra e alle forze AF;, trasmesse attraverso la sezione S, dev’ essere:

Sfruttando la legge di Hooke, e dopo una dimostrazione analitica, si perviene a definire la tensione interna in ogni punto della sezione trasversale della trave, lungo la direzione normale all’asse neutro Z.

Da questa relazione si deduce che la tensione interna é nulla in corrispondenza dell’ asse neutro (y=0); inoltre, in una sezione generica, le tensioni hanno un andamento lineare triangolare. I valori massimi di tensione a trazione (Omax) e a compressione sono concentrati nei punti A e B, pit: lontani dall’asse neutro, dove la distanza y é massima.

Per questi punti i valori delle tensioni massime sono dati da:

Rappresenta il modulo di resistenza a flessione rispetto all’asse z. Il modulo di resistenza a flessione, essendo il rapporto tra un momento quadratico di superficie e una distanza, ha le dimensioni di una lunghezza al cubo.

Inoltre si definisce raggio di curvatura:

Calcoli di progetto e di verifica

Nei calcoli di verifica occorre accertare che le tensioni massime

indotte nelle sezioni della trave in esame, non siano maggiori delle tensioni ammissibili

Nel caso di sezioni simmetriche rispetto all’asse neutro in cui il materiale presenti uguale resistenza a trazione e a compressione, come per esempio gli acciai; l’equazione di stabilita assume la forma:

Ed é riferita al punto della sezione pit lontano dall’asse neutro, indipendentemente dal fatto che si trovi da una o dall’altra parte dell’asse.

Qualora, sempre per sezioni simmetriche, il materiale abbia una resistenza diversa a trazione e a compressione, occorre verificare le condizioni di resistenza sia per le fibre superiori sia per quelle inferiori. Se invece la sezione non é simmetrica rispetto all’asse neutro, ma il materiale ha la stessa resistenza a trazione e a compressione, occorre verificare che la tensione maggiore tra le due non abbia un valore superiore alla tensione ammissibile.

I calcoli di progetto consistono nel determinare le dimensioni della sezione in funzione della sollecitazione esterna. Noto il momento flettente e la qualita del materiale impiegato (ovvero la tensione ammissibile), si pud ricavare mediante formula inversa, il valore del modulo di resistenza della sezione rispetto all’asse neutro:

Da cui é possibile ricavare le dimensioni della sezione.

6.3 Sollecitazioni di taglio

Una trave é soggetta a sollecitazione di taglio T se, riducendo al baricentro di una sua sezione trasversale tutte le forze a essa applicate, dalla parte destra e da quella sinistra della sezione, si ottiene una forza risultante che giace nel piano della sezione stessa. La sollecitazione rimane costante lungo i tratti di trave non direttamente sottoposti a forze esterne ed é sempre accompagnata dalla sollecitazione di flessione, che invece varia con legge lineare. Tuttavia, per analizzare solo la forza di taglio T, si suppone nullo l’effetto della flessione.

Le tensioni indotte dalla sollecitazione di taglio, indicate con la lettera t, giacciono nel piano della sezione e hanno una distribuzione non uniforme. Si dimostra che la tensione t in qualunque punto P di una generica sezione, sulla quale agisce la forza di taglio Ty, si pud esprimere mediante la seguente relazione:

In cui:

• T, é la forza di taglio lungo L’asse baricentrico y;
• b é la lunghezza della corda, passante per il punto P e parallela all’asse baricentrico z;
• Sz, é il momento statico della porzione di sezione al di sopra della corda, che si ottiene moltiplicando l’area A’ di tale sezione per la distanza yg del suo baricentro dall’asse z:

• Iz é il momento quadratico dell’intera sezione rispetto all’asse z.

Il momento quadratico polare di una superficie, costituita da n aree elementari AAi, poste alla distanza ri; dal suo centro, con i=1,2,…,.n, é dato dalla seguente relazione:

Inoltre, il momento quadratico di una superficie é uguale alla somma dei due momenti quadratici assiali della superficie stessa, rispetto a due assi baricentrici ortogonali.

L’espressione di t consente di determinare il valore della tensione in ogni punto della sezione in esame e ne stabilisce la variazione, poiché la tensione dipende dal momento statico e dalla larghezza b della sezione, o soltanto dal momento statico, se la larghezza della sezione é costante.

Poiché la tensione é definita come rapporto tra la forza di taglio T e l’area A della sezione complessiva, il valore della tensione tangenziale ha solo il significato di tensione media, ottenuta ipotizzando una distribuzione uniforme delle tensioni nel piano della sezione:

Sezione rettangolare

Nella sezione rettangolare, la tensione interna dipende solo dal momento statico, poiché gli altri termini sono costanti. Si puo dimostrare che:

Sezione circolare
Considerando una sezione circolare di raggio r, il valore della tensione dipende dal momento statico e dalla lunghezza della corda, variabile lungo l’asse y. La tensione massima si ha in corrispondenza dell’asse neutro z, a cui corrisponde il semicerchio di baricentro G’:

Mentre nei punti A e B, la tensione é nulla.

Sezione a doppia T

Per i profili a doppia T si considera l’anima del profilato come sezione resistente alle forze di taglio.

Il valore massimo della tensione é espresso attraverso la relazione approssimata:

Calcoli di progetto e di verifica

Per i calcoli di verifica occorre confrontare la tensione tangenziale massima Tmax, indotta dalla sollecitazione di taglio con la tensione tangenziale ammissibile statica Tams, accettando che risulti:

I calcoli di progetto consistono nel dimensionamento della sezione trasversale della sezione, ossia imponendo che la tensione tangenziale massima sia inferiore o al massimo uguale alla tensione ammissibile.

6.4 Sollecitazione di torsione

Una trave rettilinea é sollecitata a torsione semplice, quando ogni sua sezione é sottoposta all’azione del solo momento torcente Mt, essendo nulle le altre caratteristiche di sollecitazione. Il caso pit semplice di torsione é quello in cui nelle sezioni di estremita della trave agiscono due coppie di forze uguali e opposte, di momento Mt, collocate su piani perpendicolari all’asse geometrico della trave stessa.

Dopo una dimostrazione si ottiene:

Mentre sono nulle nel centro di torsione (r=0). Dove I, é il momento quadratico polare, per la sezione circolare piena di diametro d, vale:

Indicando con Wt; il modulo di resistenza a torsione, dato dal rapporto Ip,/(d/2), la Tmax puo essere scritta come:

Che rappresenta l’equazione di sollecitazione a torsione. Il modulo di resistenza a torsione Wt, per la sezione circolare piena di diametro d, risulta:

Calcoli di progetto e di verifica

Quando si é determinata la tensione massima Tmax e assegnato il valore della tensione tangenziale ammissibile Tans, nei calcoli di verifica occorre accertare che nella sezione in esame sia:

Nell’equazione di stabilita sopra scritta, la tensione tangenziale ammissibile statica Tams, come per le sollecitazioni di taglio, vale:

Nei calcoli di progetto, noto il valore del momento torcente Mt, é assegnato il valore della tensione tangenziale ammissibile Tams, Si sostituisce Tmax con Tams, Si ricava il valore del modulo di resistenza a torsione Wt;e di conseguenza le dimensioni della sezione:

Da cui si ottiene:

SOLLECITAZIONI COMPOSTE

7.1 Tensioni interne dovute a sollecitazioni composte

Gli organi di macchine o gli elementi di una struttura, di solito, sono soggetti all’azione contemporanea di due o piu caratteristiche di sollecitazione. La tensione interna risultante si determina componendo opportunamente tensioni generate da ciascuna sollecitazione.

Quando su un corpo agiscono sollecitazioni che determinano tensioni dello stesso tipo o oppure t, il problema si risolve mediante il principio di sovrapposizione degli effetti.

Se nella sezione agiscono la forza assiale N e il momento flettente Mf, che generano due tensioni normali o, entrambe perpendicolari al piano della sezione e con direzioni parallele, la tensione risultante é data dalla somma algebrica delle intensita delle singole tensioni.

Quando, invece, nella sezione agiscono la forza di taglio T e il momento torcente Mt, che generano due tensioni tangenziali t, entrambe agenti nel piano della sezione ma non parallele, la tensione risultante si ottiene dalla composizione vettoriale delle singole tensioni; al contrario, se hanno la stessa direzione, la tensione risultante si ricava mediante somma algebrica. In questi casi di sollecitazioni composte, la verifica di resistenza consiste, come per le sollecitazioni composte, nell’accertare che il valore della tensione massima non superi quello della tensione ammissibile statica:

Altre combinazioni delle caratteristiche di sollecitazione, per esempio forza assiale N e momento torcente Mt, o momento flettente Mf, e cosi via, danno origine, in ogni punto di una sezione retta, a una tensione normale o e ad una tensione tangenziale t; insieme esse costituiscono uno stato biassiale o bidimensionale di tensione. In tale condizione, per determinare la tensione monoassiale equivalente, o tensione ideale oid, che puo essere espressa, con una delle teorie di resistenza comunemente accettate nella seguente forma:

Quando si ha l’azione contemporanea di tre o pit sollecitazioni, si raggruppano quelle che generano tensioni o e quelle che generano tensioni t, quindi si procede alla determinazione della tensione ideale.

In conclusione, determinati i valori massimi delle tensioni interne o e t, mediante le equazioni di stabilita delle sollecitazioni semplici, si calcola la tensione ideale, quindi si impone che essa non superi la tensione ammissibile oams del materiale considerato, in modo da assicurare la resistenza del corpo in esame:

Nel caso di corpi soggetti a sollecitazioni variabili nel tempo, la tensione ammissibile di confronto é quella a fatica oamf:

7.2 Sforzo assiale e torsione

La sollecitazione composta da sforzo assiale e torsione é caratteristica degli alberi propulsori dei mezzi navali; l’azione dell’elica genera infatti una spinta (N) che agisce come sforzo di compressione sull’albero, mentre il momento torcente (Mt) dipende dalla potenza sviluppata dall’apparato motore e trasmessa all’elica dall’albero stesso.

Occorre tuttavia precisare che in genere il problema é piu complesso, sia per la presenza dei numerosi supporti intermedi che rendono la struttura iperstatica, sia per gli effetti prodotti dal peso dell’albero che provocano anche sollecitazioni di taglio e di flessione; il calcolo si semplifica notevolmente nel caso di piccoli natanti, i cui alberi portaelica sono di dimensioni modeste e generalmente sostenuti da due soli cuscinetti.

Denominato N, lo sforzo normale e Mf, il momento flettente, nascono le seguenti relazioni:

Dove A e Iz, indicano, rispettivamente, l’area della sezione e il suo momento quadratico rispetto all’asse neutro. Dato che le tensioni indotte sono entrambe di tipo o, normali alla sezione, per il principio di sovrapposizione degli effetti, la tensione risultante si ottiene dalla somma algebrica di on con om:

Dove per convenzione si attribuisce il segno negativo alle tensioni dovute alla sollecitazione di compressione; di conseguenza il segno +_ posto davanti alla tensione oy indica che la tensione dovuta al momento flettente assume valore positivo per le fibre longitudinali tese, mentre assume valore negativo per quelle compresse. Infine, fissato una valore della tensione ammissibile del materiale, per la verifica della resistenza del corpo in esame, occorre imporre la condizione seguente:

7.3 Sforzo assiale e momento torcente

Questo tipo di sollecitazione composta si verifica negli alberi di trasmissione, ai quali sono applicate due coppie di uguale intensita e verso opposto che agiscono su due piani ortogonali all’asse geometrico dell’albero, e una spinta assiale di trazione o compressione. Un tipico esempio é il caso degli alberi propulsori delle eliche delle navi, sottoposte all’azione dei momenti torcenti della coppia motrice del motore e della coppia resistente dell’elica, applicati alle estremita, oltre che alla spinta assiale di compressione, rappresentata dalla spinta propulsiva dell’elica. Una qualsiasi sezione circolare trasversale dell’albero presenta una distribuzione uniforme delle tensioni o, dovute alla forza assiale, e una distribuzione delle tensioni t, dovute al momento torcente, variabile lungo il diametro della sezione, assumendo valori massimi sul contorno.

Le tensioni indotte dalle singole sollecitazioni nel piano della sezione assumono le seguenti espressioni:

Essendo le due tensioni differenti, costituiscono un sistema di tensioni biassiale, riducibile a un sistema monoassiale equivalente, caratterizzato dalla tensione ideale oid di tipo normale, la cui espressione é:

Per la verifica dell’albero, nei punti pit sollecitati della sezione, il valore della tensione ideale non deve superare quello della tensione ammissibile del materiale, pertanto si ha:

7.4 Forza di taglio e momento torcente

L’azione contemporanea della forza di taglio e del momento torcente si presenta in pochi organi meccanici, i principali dei quali sono le molle di torsione, a cui appartengono le barre di torsione e le molle ad elica cilindrica o conica, a sezione circolare e rettangolare.

Presa in esame la figura sottostante si puo osservare che é nei punti A e B che le tensioni dovute alla forza di taglio e quelle dovute al momento torcente assumono il valore massimo; in particolare nel punto A le tensioni hanno lo stesso verso, mentre nel punto B il verso é opposto. Quindi, la massima tensione risultante si ha nel punto A ed é ottenuta dalla somma delle tensioni massime dovute alle due singole sollecitazioni.

Le tensioni indotte dalle due sollecitazioni, nella sezione circolare di diametro d, hanno le seguenti espressioni:

• Tensione dovuta al momento torcente:

• Tensione dovuta alla forza di taglio:

La somma delle due tensioni da il valore della tensione massima nel punto A:

La verifica di resistenza é soddisfatta se:

7.5 Forza di taglio e momento flettente

Questo caso riguarda le travi rettilinee sottoposte a forze dirette perpendicolarmente al loro asse geometrico. Le caratteristiche di sollecitazione Mf e T variano diversamente lungo la trave; il momento flettente é massimo nelle sezioni in cui il taglio si annulla o cambia segno. Anche le tensioni o e t nella generica sezione sono differenti: le tensioni t dovute al taglio sono nulle al bordo della sezione e assumono il valore massimo in corrispondenza dell’asse neutro; le tensioni o dovute al momento flettente, assumono invece il valore massimo nei punti in cui si annullano le tensioni t. Proprio per questo non é sempre facile individuare i punti maggiormente sollecitati della trave, ma il dimensionamento di una trave sottoposta a flessione e taglio si semplifica notevolmente, poiché di solito l’effetto del taglio é trascurabile in qualunque punto.

Da cio deriva l’espressione delle tensioni:

Mediante l’equazione di stabilita della sollecitazione a flessione, si ricavano le dimensioni della sezione in esame o si verifica la resistenza della trave con la seguente espressione:

Solo in quelle sezioni che possono risentire maggiormente delle tensioni tangenziali, si verifica che la tensione Tmax, non sia maggiore della tensione ammissibile Tams.

7.6 Momento torcente e momento flettente

Questa coppia di sollecitazioni si manifesta comunemente negli alberi di trasmissione delle macchine. Il momento torcente é costituito dal momento che un motore trasmette a una macchina operatrice, come ad esempio, un motore a combustione interna accoppiato, mediante l’albero, a un generatore elettrico, oppure dal momento che un organo meccanico, calettato su un albero motore, trasmette a un altro organo, calettato sull’albero condotto. Il valore del momento torcente puo essere ricavato dall’espressione della potenza. Il peso proprio dell’albero e degli organi meccanici su di esso montati, le forze trasmesse dai rami della cinghia che avvolge una puleggia, la spinta tra i denti di un ingranaggio e azioni analoghe danno origine alle sollecitazioni di flessione e taglio; tuttavia gli effetti del taglio sono spesso trascurabili, salvo procedere in seguito a un’ opportuna verifica.

Si veda la rappresentazione sottostante, in essa si nota che tutti i punti del contorno della sezione circolare, si hanno le massime sollecitazioni a flessione e torsione. La massima tensione dovuta al momento flettente é:

L’espressione della tensione dovuta al momento torcente é:

Poiché le due tensioni sono differenti, si adotta la tensione ideale:

La condizione di resistenza a flesso-torsione si riduce dunque a:

IN CONCLUSIONE

Questo articolo introduce le leggi fondamentali per lo studio e il calcolo delle macchine e dei sistemi energetici, ne riassume caratteristiche e criteri di scelta e introduce al calcolo delle loro prestazioni mediante numerosi e dettagliati esempi applicativi. Il testo è rivolto principalmente agli studi di corsi di ITI e corsi di laurea in cui l’insegnamento della disciplina risulta compattato e semplificato. Tuttavia, può essere utile anche come introduzione a uno studio più approfondito delle macchine e dei sistemi energetici.